Convergence étroite

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Convergence étroite $\mu_n\overset{(e)}\longrightarrow \mu$
Pour toute fonction continue bornée, la valeur de son intégrale selon $\mu_n$ tend vers la valeur de son intégrale selon $\mu$. $$\forall\varphi\in\mathcal C_b({\Bbb R}^d),\quad\int\varphi\,d\mu_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\int\varphi\,d\mu$$
- on peut remplacer $\mathcal C_b({\Bbb R}^d)$ par $\mathcal C_c({\Bbb R}^d)$ ou $H$, avec $H\subset\mathcal C_b({\Bbb R}^d)$ dense dans $\mathcal C_c({\Bbb R}^d)$ pour $\lVert\cdot\rVert_\infty$
- caractérisations (théorème du porte-manteau) :
  1. $\forall O\in{\Bbb R}^d$ Ouvert, $\varliminf_n\mu_n(O)\geqslant\mu(O)$
$\forall F\in{\Bbb R}^d$ Fermé, $\varlimsup_n\mu_n(F)\leqslant\mu(F)$
$\forall B\in{\Bbb R}^d$ borélien tq $\mu(\partial B)=0$, on a $\mu_n(B){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\mu(B)$

métrisable pour la distance $d(\mu,\nu)=$ $\sum_{p=0}^{+\infty}\lvert\int\varphi_p\,d\mu-\int\varphi_p\,d\nu\rvert\land2^{-p}$, avec $(\varphi_p)_p$ dénombrable

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